Question

如圖，直線y=x與拋物線y=x²-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點．
（1）求點Q的坐標；
（2）當P為拋物線上位于線段AB下方（含A、B）的動點時，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線方程拋物線方程聯立求得交點A，B的坐標，則AB中點M的坐標可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標．
（2）設出P的坐標，利用P到直線0Q的距離求得三角形的高，利用兩點間的距離公式求得QO的長，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數的單調性求得三角形面積的最大值．
解答：解：（1）解方程組得或即A（-4，-2），B（8，4），
從而AB的中點為M（2，1），
由k_AB═，直線AB的垂直平分線方程y-1=-2（x-2）．
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
（2）直線OQ的方程為x+y=0，設P（x，x²-4）．
∵點P到直線OQ的距離
d==．
，∴S_△OPQ=|OQ|d=
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點，且P不在直線OQ上，
∴-4≤x＜4-4或4-4＜x≤8．
∵函數y=x²+8x-32在區間[-4，8]上單調遞增，
∴當x=8時，△OPQ的面積取到最大值30．
點評：本題主要考查了拋物線的應用，點到直線的距離公式．考查了對解析幾何基礎知識的靈活運用．