Question

已知二次函數f（x）的圖象與x軸的交點為（0，0）和（-2，0），且f（x）最小值是-1，函數g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在區間[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax（x+2）=ax²+2ax（a＞0），根據頂點坐標可求a值，再由對稱關系可求g（x）；
（2）表示出h（x），由題意知區間[-1，1]是h（x）增區間的子集，由此可得λ的取值范圍，需要分類討論．

解答：解：（1）依題意，設f（x）=ax（x+2）=ax²+2ax（a＞0）．
∵f（x）圖象的對稱軸是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2a=-1，得a=1．
∴f（x）=x²+2x．
又∵函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴g（x）的頂點坐標為（1，-1），與x軸的交點為（0，0）和（2，0），開口向上，
∴g（x）=x²-2x．
（2）由（1）得h（x）=x²+2x-λ（x²-2x）
=（1-λ）x²+2（1+λ）x．
①當λ=1時，h（x）=4x滿足在區間[-1，1]上是增函數，
②當λ＜1時，h（x）圖象對稱軸是x=

λ+1

λ-1

，
則

λ+1

λ-1

≤-1，又λ＜1，解得0≤λ＜1；
③當λ＞1時，同理則需

λ+1

λ-1

≥1，
又λ＞1，解得λ＞1，
綜上，滿足條件的實數λ的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查函數解析式求法及二次函數性質，考查分類討論思想．