Question

給出下列四個命題：①函數f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱；②若a≥b＞-1，則

a

1+a

≥

b

1+b

；③存在實數x，使x³+x²+1=0；④設P（x₁，y₁）為圓O₁：x²+y²=9上任意一點，圓O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，當（x₁-a）²+（y₁-b）²=1時，兩圓相切．其中正確命題的序號是

 

．（把你認為正確的都填上）

Answer 1

分析：①把x=-

π

6

，代入函數函數f(x)=3sin(2x-

π

3

)是否為0，即可判斷函數的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱的正誤；
②若a≥b＞-1，證明

a

1+a

≥

b

1+b

，說明②的正誤；
③存在實數x，使x³+x²+1=0，找出一個值即可；
④找出反例即可判斷設P（x₁，y₁）為圓O₁：x²+y²=9上任意一點，圓O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，當（x₁-a）²+（y₁-b）²=1時，兩圓相切的正誤．

解答：解：①把x=-

π

6

，代入函數f(x)=3sin[2× (-

π

6

)-

π

3

]≠0，函數的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱的，不正確；
②若a≥b＞-1，所以1+a＞0，1+b＞0，a+ab≥b+ab，則

a

1+a

≥

b

1+b

，正確；
③存在實數x，使x³+x²+1=0；當x=-2時x³+x²+1＜0，x=0，x³+x²+1＞0，所以正確；
④設P（x₁，y₁）為圓O₁：x²+y²=9上任意一點，圓O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，當（x₁-a）²+（y₁-b）²=1時，兩圓相切．如果兩圓相交也滿足題意，注意不正確．
故答案為：②③

點評：本題是基礎題，考查三角函數的對稱性，不等式的應用，方程的根，圓的方程的應用，考查發現問題解決問題的能力．