Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大��；
（3）在（2）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連BD，設AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O為坐標原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標系O-xyz，設底面邊長為a，求出高SO，從而得到點S與點C和D的坐標，求出向量與，計算它們的數量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；
（2）根據題意先求出平面PAC的一個法向量和平面DAC的一個法向量，設所求二面角為θ，則，從而求出二面角的大��；
（3）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC，根據（Ⅱ）知是平面PAC的一個法向量，設，求出，根據可求出t的值，從而即當SE：EC=2：1時，，而BE不在平面PAC內，故BE∥平面PAC
解答：證明：（1）連BD，設AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．
以O為坐標原點，
分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標系O-xyz如圖．
設底面邊長為a，則高．
于是，
，，
，
故OC⊥SD
從而AC⊥SD
（2）由題設知，平面PAC的一個法向量，
平面DAC的一個法向量．
設所求二面角為θ，則，
所求二面角的大小為30°．
（3）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知是平面PAC的一個法向量，
且
設，
則
而
即當SE：EC=2：1時，
而BE不在平面PAC內，故BE∥平面PAC
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關系的判定和二面角的求法，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．