Question

已知α、β為銳角，且滿足3sin²α＋2sin²β＝1，3sin 2α－2sin2β＝0．求證α＋2β＝．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：由3sin2α＋2sin2β＝1得cos2β＝3sin2α． 　　由3sin 2α－2sin 2β＝0得sin2β＝sin 2α 　　∴cos(α＋2β)＝cosαcos 2β－sinαsin 2β 　　＝cosα·3sin2α－sinα·sin 2α 　　＝3cosα·sin2α－3cosα·sin2α＝0．

提示：

分析：由3sin2α＋2sin2β＝1出發(fā)，移項(xiàng)后有1－2sin2β＝cos2β，觀察這個(gè)式子可以發(fā)現(xiàn)恰好是所求中的2β的函數(shù)，那么另一個(gè)已知式子可以相應(yīng)地變形為sin2β＝sin2α．如何使用已知條件已經(jīng)是顯而易見(jiàn)的了． 　　解題心得：利用三角函數(shù)關(guān)系求證角的關(guān)系時(shí)，一般有兩點(diǎn)要十分注意，一是取它的某種三角函數(shù)值，二是它的取值范圍，滿足cos(α＋2β)＝0的角有無(wú)窮多個(gè)，又因?yàn)?＜α＋2β＜，那么在(0，)內(nèi)余弦值為零的角只有． 三角函數(shù)是多對(duì)一的對(duì)應(yīng)，即不同的自變量可能對(duì)應(yīng)同一個(gè)函數(shù)值．反之，一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)多個(gè)自變量的值．如α＝β可推得sinα＝sinβ，而sinα＝sinβ卻不能推得α＝β，忽略了三角函數(shù)這種多對(duì)一的關(guān)系，就會(huì)造成錯(cuò)誤．如已知三角函數(shù)值求角與證明角相等之類題目就需注意這種非一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．