Question

【題目】已知函數y＝f(x)在R上的圖象是連續不斷的一條曲線，且圖象關于原點對稱，其導函數為f'(x)，當x＞0時，x2f'(x)＞﹣2xf(x)成立，若x∈R，e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)＞0恒成立，則a的取值范圍是_____.

Answer 1

【答案】0≤a＜e

【解析】

構造g(x)＝x2f(x)，利用x2f'(x)＞﹣2xf(x)，可得g（x）在(0，+∞)上單調遞增，轉化e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)＞0，為g(ex)＞g(ax)，即可得ex＞ax，分x=0,x>0,x<0三種情況討論，參變分離即得解.

令g(x)＝x2f(x)，

因為x＞0時，x2f'(x)＞﹣2xf(x)

可知x＞0時g'(x)＝2xf(x)+x2f(x)＞0，

g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

又因為函數y＝f（x）在R上的圖象是連續不斷的一條曲線，且圖象關于原點對稱，

所以g(x)為R上單調遞增的奇函數，

因為e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)＞0，所以g(ex)＞g(ax)，

即可得ex＞ax，

當x＝0時，1＞0恒成立，

當x＞0時，a恒成立，所以a，

當x＜0時，a恒成立，所以，

令h（x），h'（x），

所以h（x）在(﹣∞，0)，(0，1)上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

h（1）＝e，

當x＜0時，h（x）＜0，

所以0≤a＜e，