Question

用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m ,那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積.

Answer 1

解析:本題應(yīng)先設(shè)出一個未知數(shù)(容器底面的一邊長),列出容器容積的函數(shù)解析式再求解.

設(shè)一邊為x m ,另一邊為(x+0.5) m ,高為(3.2-2x) m .?

由得0＜x＜1.6.?

設(shè)容器的容積為y m³ ,?

則y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0＜x＜1.6),?

整理得y=-2x³+2.2x²+1.6x,?

所以y′=-6x²+4.4x+1.6.?

令y′=0,有15x²-11x-4=0,?

所以x=1或x=-(舍去).?

當(dāng)0＜x＜1時,y′＞0,函數(shù)單調(diào)遞增;?

當(dāng)1＜x＜1.6時,y′＜0,函數(shù)單調(diào)遞減 ,?

因此,當(dāng)x=1時,y取得最大值1.8,這時高為1.2 m.?

答:容器的高為1.2 m時容積最大,最大容積為1.8 m³.?

點評:在選擇什么量為自變量時,選法不是唯一的.但考慮到條件中容器底面矩形兩邊關(guān)系的應(yīng)用,沒有選高為自變量.此題也可用不等式的知識來求最大值,但繁簡程度有所不同.