Question

設函數f(x)=2sinxcosx-cos(2x-

π

6

)．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）畫出函數f（x）在區間[0，π]上的圖象；
（Ⅲ）當x∈[0，

2π

3

]時，求函數f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

Answer 1

分析：（I）先利用兩角差的余弦公式及二倍角公式對已知函數進行化簡，然后結合周期公式即可求解
（II）結合正弦函數的性質即可求解
（III）由已知x的范圍求出2x-

1

3

π的范圍，然后結合正弦函數的性質可求函數的最值

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=2sinxcosx-cos(2x-

π

6

)
=sin2x-(cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

)
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)，…（3分）
所以f(x)=sin(2x-

π

3

)．
函數f（x）的最小正周期為π…（4分）
（Ⅱ）圖象如圖所示（8分）
（Ⅲ）因為x∈[0，

2π

3

]，所以2x-

π

3

∈[-

π

3

，π]．
所以，當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時 …10函數f（x）的最大值為1  …（12分）

點評：本題主要考查了兩角和的三角公式及正弦函數的性質的簡單應用，屬于基礎試題