Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且傾斜角為60°的直線l過點和橢圓C的右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），點M，N是橢圓C上不重合的兩點，且，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)已知中的斜率和所過點的坐標可求得直線的方程，直線與x軸的焦點就是橢圓的右焦點，進而求得c，再利用離心率求得a．進而根據(jù)b=求得b，橢圓的標準方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)可推斷D，M，N三點共線，又依據(jù)D在x軸上，可分析MN與x軸重合時，根據(jù)向量的關系求得λ的值；當MN與x軸不重合時通過直線與橢圓方程聯(lián)立消去x，利用韋達定理和的關系求得λ的范圍．最后綜合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得直線l：，
∴橢圓的右焦點（2，0）∴，
∴，，
橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由知，D，M，N三點共線，
又點D在x軸上，∴直線MN有以下兩種情況：
①當直線MN與x軸重合時，M，N為橢圓長軸的兩個端點，
由，得，；
②當直線MN與x軸不重合時，
設MN：x=my+3，由消去x得，
（m²+3）y²+6my+3=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則①②，
由△=（6m）²-12（m²+3）＞0得
又，∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），
且λ＞0，λ≠1，∴y₁=λy₂③，
由①②③得===，∵
∴，解得，且λ≠1
綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍是．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關系．常需要直線與橢圓方程聯(lián)立，消元后利用韋達定理找到解決問題的突破口．