Question

如圖1中矩形ABCD中，已知AB=2，，MN分別為AD和BC的中點，對角線BD與MN交于O點，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM與平面MNCD所成角為60°，如圖2
（1）求證：BO⊥DO；
（2）求AO與平面BOD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）先判斷∠AMD 是平面ABNM與平面MNCD的平面角，進一步證明△BOD是直角三角形，即可知BO⊥DO；
（2）設E，F是BD，CD的中點，則EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD，過A作AH⊥BD，由面面垂直的性質定理，可得AH⊥平面BOD，連接OH，則可證∠AOH為AO與平面BOD所成角；
方法二：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明=0，即可；
（2）求出平面BOD的法向量是，=（，，-1），再利用向量夾角公式即可求得結論．
解答：方法一：（1）證明：由題設，M，N是矩形的邊AD和BC的中點，所以AM⊥MN，BC⊥MN，
∵折疊垂直關系不變，∴∠AMD 是平面ABNM與平面MNCD的平面角，依題意，所以∠AMD=60°，…（2分）
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，
在矩形ABCD中，AB=2，AD=，所以，BD=，由題可知BO=OD=，
由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …（5分）
（2）解：如圖1（2）設E，F是BD，CD的中點，則EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD
又BO=OD，所以OE⊥BD，OE⊥面ABCD，OE?面BOD，平面BOD⊥平面ABCD
過A作AH⊥BD，由面面垂直的性質定理，可得AH⊥平面BOD，連接OH，…（8分）
所以OH是AO在平面BOD的投影，
所以∠AOH為所求的角，即AO與平面BOD所成角．…（11分）
AH是RT△ABD斜邊上的高，所以AH=，BO=OD=，
所以sin∠AOH=（14分）
方法二：空間向量：取MD，NC中點P，Q，如圖2建系，則Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1），
所以=（，，1），=（0，，-1）
所以=0，即BO⊥DO（5分）
（2）設平面BOD的法向量是，
可得+z=0-z=0，令可得
所以A
又=（，，-1），
設AO與平面BOD所成角為θ
則=（14分）
點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查線線垂直，考查線面角，既用傳統方法，又用向量方法，兩法并舉，細細體會．