Question

如圖，四邊形ABCD中（圖1），BD=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．BD中點為F，將圖1沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（圖2）．

（1）過A作直線AE⊥平面BDC，且AE∩平面BDC=E，求DE的長度．
（2）求直線AC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質可得AF⊥BD，再利用線面垂直的性質及其三垂線定理即可得到∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，進而得到DE的長度．
（2）由DC=1，BD=2，BC=

5

，可得BD²+DC²=BC²．利用勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°．
于是EF∥CD，又F為BD的中點，可得E為BC的中點．在平面BCD內，過點C作CG⊥FE，交FE的延長線于點G，連接AG．
可得四邊形CDFG為矩形，利用線面垂直的性質及DF⊥平面AFE，可得CG⊥平面AFE．
因此∠CAG為斜線AC與平面AFE所成的線面角．求出即可．

解答：解：（1）如圖所示，連接FE、AF，∵AD=AB=

2

，DF=FB=1，∴AF⊥BD，AF=1，
∵AE⊥平面BCD，∴BD⊥FE，
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，∴∠AFE=60°．
在Rt△AFE中，FE=AF•cos60°=

1

2

．
在Rt△DFE中，DE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．
（2）由DC=1，BD=2，BC=

5

，∴BD²+DC²=BC²．
∴∠BDC=90°．
∵EF⊥BD，∴EF∥CD，又F為BD的中點，∴E為BC的中點．
在平面BCD內，過點C作CG⊥FE，交FE的延長線于點G，連接AG．
則四邊形CDFG為矩形，∵DF⊥平面AFE，∴CG⊥平面AFE．
∴∠CAG為斜線AC與平面AFE所成的線面角．
在Rt△AFE中，AE=AF•sin60°=

3

2

，
又∵EG=FG-FE=1-

1

2

=

1

2

，∴AG=

AE2+EG2

=1．
在矩形CDFG中，CG=DF=1，
∴∠CAG=45°．
∴sin∠CAG=

2

2

．

點評：熟練掌握二面角、線面角的定義及其作法、三垂線定理、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性質、矩形的性質、平行線分線段成比例定理、線面垂直的判定與性質等是解題的關鍵．