Question

(2006福建，21)已知函數(shù)，．

(1)求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)，當(dāng)t＋1＜4，即t＜3時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，；當(dāng)t≤4≤t＋1，即3≤t≤4時，h(t)=f(4)=16； 當(dāng)t＞4時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，． 綜上， (2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ(x)=g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn)． ∵， ∴， 當(dāng)x(0，1)時，，φ(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x(1，3)時，，φ(x)是減函數(shù)； 當(dāng)x(3，＋∞)時，，φ(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x=1，或x=3時，． ∴， ． ∵當(dāng)x充分接近0時，φ(x)＜0，當(dāng)x充分大時，φ(x)＞0． ∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點(diǎn)，必須且只需 即7＜m＜15－61n3． 所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7，15－6ln3)．

提示：

剖析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力．