Question

已知點(diǎn)P是雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，由P點(diǎn)向雙曲線的兩條漸近線引垂線，垂足為M和N，則△PMN的面積為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，算出雙曲線的漸近線方程為y=±x，可得漸近線的夾角為60°，由四邊形內(nèi)角和定理算出，∠MPN=120°．設(shè)P（m，n），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式分別算出|PM|、|PN|關(guān)于m、n的式子，結(jié)合雙曲線方程算出|PM|•|PN|=，最后根據(jù)正弦定理的面積公式即可算出△PMN的面積．
解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，即
∴兩條漸近線的夾角為60°
∵PM⊥OM且PN⊥ON，∴∠MPN=120°
設(shè)P（m，n），可得
|PM|=，且|PN|=
可得|PM|•|PN|==
因此，△PMN的面積為S=|PM|•|PN|sin120°=
故選：C
點(diǎn)評：本題給出雙曲線上一點(diǎn)P，P在兩條漸近線上的射影點(diǎn)分別為M、N，求△PMN的面積．著重考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．