Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
（I）若直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得弦長(zhǎng)最小值；
（II）M（x，y）是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y+1）²=4，當(dāng)l與OC垂直時(shí)，被曲線C截得弦長(zhǎng)最小，利用圓的幾何性質(zhì)求解．
（Ⅱ）設(shè)

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ為參數(shù)，得出x+y=2cosθ+2sinθ，利用三角函數(shù)知識(shí)求最值．

解答：解：（Ⅰ） 曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
即ρ²-2ρ（cosθ-sinθ）-2=0 
化為直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x+2y-2=0
即（x-1）²+（y+1）²=4
表示圓心C（1，-1），2為半徑的圓．
當(dāng)l與OC垂直時(shí)，被曲線C截得弦長(zhǎng)最小；
 此時(shí)弦長(zhǎng)=2

R2-OC2

=2

2

（Ⅱ）設(shè)

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ為參數(shù)，
則x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin（θ+

π

4

）≤2

2

x+y的最大值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的極坐標(biāo)方程，普通方程、參數(shù)方程的互化及應(yīng)用，考查圓的幾何性質(zhì)、三角恒等變換能力．