Question

9．已知a∈R，函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（I）若函數f（x）在x=3處取得極值，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞$\frac{1}{2}$，函數y=f（x）在[0，2a]上的最小值是-a²，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據3是函數y=f（x）的極值點，得到關于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，得到函數f（x）的最小值，求出對應的a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
∵3是函數y=f（x）的極值點，
∴f′（3）=0，即6×3²-6（a+1）×3+6a=0，
解得：a=3，
∴f（x）=2x³-12x²+18x，
f′（x）=6x²-24x+18，
則f（0）=0，f′（0）=18，
∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程是：y=18x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
∴f′（x）=6（x-1）（x-a），
①a=1時，f′（x）=6（x-1）²≥0，
∴f（x）_min=f（0）=0≠-a²，
故a=1不合題意；
②a＞1時，令f′（x）＞0，則x＞a或x＜1，
令f′（x）＜0，則1＜x＜a，
∴f（x）在[0，1]遞增，在[1，a]遞減，在[a，2a]遞增，
∴f（x）在[0，2a]上的最小值是f（0）或f（a），
∵f（0）=0≠-a²，由f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a²=-a²，
解得：a=4；
③$\frac{1}{2}$＜a＜1時，令f′（x）＞0，則有x＞1或x＜a，
令f′（x）＜0，則a＜x＜1，
∴f（x）在[0，a]遞增，在[a，1]遞減，在[1，2a]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=2-3（a+1）+6a=-a²，
解得：a=$\frac{-3±\sqrt{13}}{2}$與$\frac{1}{2}$＜a＜1矛盾，
綜上，符合題意的a的值是4．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的意義以及分類討論思想，是一道中檔題．