Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=2x²．
（Ⅰ） 求x＜0時，f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，問是否存在x₀，使得f（x），g（x）在x=x₀處的切線互相平行？若存在，請求出x₀值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先取x＜0，-x＞0，再由奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x）及x≥0時，f（x）=2x²．求出解析式即可
（Ⅱ）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f'（x₀）=g'（x₀），若此方程有根，則說明存在，否則說明不存在

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）²=-2x²；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x₀處的切線互相平行，則f'（x₀）=g'（x₀），（4分）
f′(x0)=4x0=g′(x0)=

1

x0

，解得，x0=±

1

2

∵x≥0，得x0=

1

2

（4分）

點評：本題考查奇函數(shù)，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到方程解出x＜0時，f（x）的表達(dá)式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立導(dǎo)數(shù)的方程求方程的根，以此來確定這樣的直線存在與否．