【題目】如圖，已知四棱錐
中，
，
平面
，
，F，G分別是
的中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）取
的中點O，連接
，根據條件可證平面
平面
，從而可證明.
（Ⅱ）
平面
，
平面，由
得
，故以點O為坐標原點，
所在直線為
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求二面角.
（Ⅰ）證明：如圖，取的中點O，連接.
點
分別為
的中點，點O為的中點，
為梯形
的中位線，
.
平面，
平面，
平面.
同理，
，
平面，
平面，
平面.
又
，
平面平面.
平面
，
平面.
（Ⅱ）平面，平面.
，
故以點O為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
在
中，
.
在
中，
.
在
中，
，作
，垂足為點H.
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
設平面
的法向量為
，
由
得
，令
，
；
設平面
的法向量為
，
由
得
令
.
設二面角
的大小為
，
由圖可知，二面角為銳角，
則
.
所以二面角的余弦值為
黎明文化寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】湖北七市州高三5月23日聯考后，從全體考生中隨機抽取44名，獲取他們本次考試的數學成績
和物理成績
，繪制成如圖散點圖：
根據散點圖可以看出
與
之間有線性相關關系，但圖中有兩個異常點
．經調查得知，
考生由于重感冒導致物理考試發揮失常，
考生因故未能參加物理考試．為了使分析結果更科學準確，剔除這兩組數據后，對剩下的數據作處理，得到一些統計的值：
其中
，
分別表示這42名同學的數學成績、物理成績，
，2，…，42，與的相關系數
．
（1）若不剔除兩名考生的數據，用44組數據作回歸分析，設此時與的相關系數為
．試判斷與
的大小關系，并說明理由；
（2）求關于的線性回歸方程，并估計如果考生參加了這次物理考試（已知考生的數學成績為125分），物理成績是多少？
（3）從概率統計規律看，本次考試七市州的物理成績
服從正態分布
，以剔除后的物理成績作為樣本，用樣本平均數
作為
的估計值，用樣本方差
作為
的估計值．試求七市州共50000名考生中，物理成績位于區間（62.8，85.2）的人數
的數學期望．
附：①回歸方程
中：
②若
，則
③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以坐標原點O為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為：
，曲線C2的參數方程為：
，點N的極坐標為
．
（Ⅰ）若M是曲線C1上的動點，求M到定點N的距離的最小值；
（Ⅱ）若曲線C1與曲線C2有有兩個不同交點，求正數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市場研究人員為了了解產業園引進的甲公司前期的經營狀況，對該公司2018年連續六個月的利潤進行了統計，并根據得到的數據繪制了相應的折線圖，如圖所示
（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤
（單位：百萬元）與月份代碼
之間的關系，求關于的線性回歸方程，并預測該公司2019年3月份的利潤；
（2）甲公司新研制了一款產品，需要采購一批新型材料，現有
，
兩種型號的新型材料可供選擇，按規定每種新型材料最多可使用
個月，但新材料的不穩定性會導致材料損壞的年限不相同，現對，兩種型號的新型材料對應的產品各
件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數統計如下表：
使用壽命 材料類型 |
|
|
|
| 總計 |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
如果你是甲公司的負責人，你會選擇采購哪款新型材料？
參考數據：
，
.參考公式：回歸直線方程為
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠新購置甲、乙兩種設備，分別生產A，B兩種產品，為了解這兩種產品的質量，隨機抽取了200件進行質量檢測，得到質量指標值的頻數統計表如下：
質量指標值 |
|
|
|
|
|
| 合計 |
A產品頻數 | 2 | 6 | a | 32 | 20 | 10 | 80 |
B產品頻數 | 12 | 24 | b | 27 | 15 | 6 | n |
產品質量2×2列聯表
產品質量高 | 產品質量一般 | 合計 | |
A產品 | |||
B產品 | |||
合計 |
附：
|
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|
|
（1）求a，b，n的值，并估計A產品質量指標值的平均數；
（2）若質量指標值大于50，則說明該產品質量高，否則說明該產品質量一般.請根據頻數表完成
列聯表，并判斷是否有
的把握認為質量高低與引入甲、乙設備有關.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義域為R的奇函數
，滿足
，則下列敘述正確的為（ ）
①存在實數k，使關于x的方程
有7個不相等的實數根
②當
時，恒有
③若當
時，的最小值為1，則
④若關于
的方程
和
的所有實數根之和為零，則
A.①②③B.①③C.②④D.①②③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，
）.以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線
的極坐標方程為
.
（1）設
是曲線上的一個動點，當
時，求點到直線的距離的最大值；
（2）若曲線上所有的點均在直線的右下方，求
的取值范圍.
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