Question

設數列{a_n}的首項a₁≠

1

4

，且a_n+1=

1 2 an n是偶 an+ 1 4 n是奇

，記b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）

Answer 1

分析：（I）根據題設條件，分別令n=1，2，能夠求出a₂和a₃．
（II）由a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，知a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），猜想：{b_n}是公比為

1

2

的等比數列．再用題設條件進行證明．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1- 1 2n )

1- 1 2

=

b1

1- 1 2

，由此能求出其結果．

解答：解：（I）a₂=a₁+

1

4

=a+

1

4

，a₃=

1

2

a₂=

1

2

a+

1

8

；
（II）∵a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，所以a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，
所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），
猜想：{b_n}是公比為

1

2

的等比數列•
證明如下：
因為b_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，（n∈N*）
所以{b_n}是首項為a-

1

4

，公比為

1

2

的等比數列．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1- 1 2n )

1- 1 2

=

b1

1- 1 2

=2（a-

1

4

）．

點評：本題考查數列的極限和運用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．