Question

在△ABC中，若a、b、c分別是角A、B、C所對的邊長，已知A=

π

3

，b=1，△ABC的面積S_△ABC=

3

，求△ABC外接圓面積S的值．

Answer 1

分析：根據面積公式列出關系式，將已知條件代入求出c的值，再利用余弦定理列出關系式，將b，c及cosA的值代入求出a的值，設三角形ABC外接圓半徑為R，利用正弦定理求出R的值，進而求出外接圓面積S．

解答：解：∵A=

π

3

，b=1，S_△ABC=

3

，
∴

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×

3

2

=

3

，
解得：c=4，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+16-2×1×4×

1

2

=13，即a=

13

，
設△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理得2R=

a

sinA

=

13

3 2

=

2 39

3

，
則R=

39

3

，S=πR²=π×

39

9

=

13π

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．