Question

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）設Q為側棱PC上一點，，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P為45°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取PD的中點F，連接EF、AF，由中位線得性質和AB∥CD及AB=1證出四邊形ABEF為平行四邊形，則BE∥AF，根據線面平行的判定得BE∥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD證出PD⊥AD，利用三條線相互垂直關系，建立直角坐標系，求出，即BC⊥DB，再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，即證BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）建立的坐標系和結論，求出平面PBD的法向量，利用求出Q的坐標，再利用垂直關系求平面QBD的法向量的坐標，由兩個法向量的數量積運算表示二面角的余弦值，化簡后求出λ∈（0，1）的值．
解答：解：（Ⅰ）取PD的中點F，連接EF，AF，
∵E為PC中點，∴EF∥CD，且，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE∥AF，∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD．（5分）
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）
，，
∴，BC⊥DB，（8分）
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量為，（10分）
∵，，且λ∈（0，1）
∴Q（0，2λ，1-λ），（11分）
設平面QBD的法向量為=（a，b，c），，，
由，，得
，
∴，（12分）
∴，（13分）
因λ∈（0，1），解得．（14分）
點評：本題用了幾何法和向量法進行證明平行及垂直關系、求值，有中點時通常構造中位線證明線線平行，根據線面平行的判定定理轉化到線面平行；向量法主要利用數量積為零證明垂直，對待二面角、線面角問題用向量法要簡單些，建立坐標系要利用幾何體中的垂直條件．