Question

對于整數，存在唯一一對整數和，使得，. 特別地，當時，稱能整除，記作，已知.

（Ⅰ）存在，使得，試求，的值；

（Ⅱ）若，（指集合B 中的元素的個數），且存在，，，則稱B為“諧和集”.請寫出一個含有元素7的“諧和集”和一個含有元素8的非“諧和集”，并求最大的，使含的集合有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）因為，所以.   …………………2分

又因為，所以.          ……………………………4分

（Ⅱ）含有元素7的一個“和諧集”.…5分

含有元素8的一個非“和諧集”.…7分

當時，記，，

記，則.

顯然對任意，不存在，使得成立. 故是非“和諧集”，此時.

同理，當時，存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”.

因此.　                 …………………………………………………10分

下面證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”.

設，若1，14，21中之一為集合的元素，顯然為“和諧集” .

現考慮1，14，21都不屬于集合，構造集合，，

，，，.…12分

以上每個集合中的元素都是倍數關系.考慮的情況，也即中5個元素全都是的元素，中剩下6個元素必須從這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合中至少有兩個元素存在倍數關系.

綜上，含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”，即的最大值為7.