Question

已知如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=2AD=2，E、F分別是線段AB、CD上的動點且EF∥BC，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF （如圖2）．

（1）當AE為何值時，有BD丄EG？
（2）設AE=x，以F、B、C、D為頂點的三梭錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；并求此時二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點E為坐標原點，射線EB為X軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系E-XYZ，設AE=x，得出各點的坐標，表示出BD與EG對應的向量，令它們的內積為0建立方程，求出x的值，得出兩直線垂直的條件；
（2）先由體積公式計算出f（x），，利用基本不等式求出函數的最大值據等號成立的條件得到AE的值，由此得到有關各點的坐標，設出法向量，求出兩個半平面的法向量由公式求出夾角的余弦即可
解答：解：（1）以點E為坐標原點，射線EB為X軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系E-XYZ，設AE=x，則E（0，0，0），B（2-x，0，0），D（0，1，x），G（2-x，1，0），
∴，，
∵BD丄EG，
∴=0，即（x-2）（2-x）+1=0，解得x=1或x=3，
又在圖1中AB=2，
∴x=1，故AE=1時有BD丄EG；
（2）∵AD∥面BEC，
∴f（x）=V_D-BCF=V_A-BCF=×S_△BCF×AE=≤×=．
設平面DBF的法向量為，
∵AE=1，B（1，0，0），D（0，1，1），F（0，，0），
∴，=（-1，1，1），則，即，令y=2，得，
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF的一個法向量為，則cos＜＞==，
由于所求的二面角D-BF-C的平面角是鈍角，所以此二面角的余弦值為-
點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時的問題時的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運算量不少，計算時要嚴謹，莫因運算出錯導致解題失敗．本題要注意所求的二面角是鈍角這一情況，據此判斷出正確答案