Question

函數(shù)f(x)=(

1

3

)

6+x-x2

的定義域為M，函數(shù)g（x）=4^x-2^x+1（x∈M）
（1）求M；    
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（直接寫出答案）；
（3）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用被開方數(shù)大于大于0，可求函數(shù)的定義域；
（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)減，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論；
（3）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求函數(shù)g（x）的值域．

解答：解：（1）由6+x-x²≥0，可得-2≤x≤3，∴函數(shù)定義域M為[-2，3]；
（2）單調(diào)遞減區(qū)間為[-2，

1

2

)，單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

2

，3]
（3）令t=2^x（

1

4

＜t＜8），則
∵g（x）=4^x-2^x+1，
∴y=t²-2t=（t-1）²-1
∵

1

4

＜t＜8
∴t=1時，y_min=-1；t=8時，y_max=48
∴函數(shù)g（x）的值域為[-1，48]

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．