Question

已知函數f(x)=

x+1

-ax在（3，+∞）上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用換元法令t=

x+1

，由已知中函數f(x)=

x+1

-ax在（3，+∞）上單調遞減，可得函數y=-at²+t-a（t＞2）單調遞減，根據二次函數的圖象和性質，對a進行分類討論即可得到答案．

解答：解：由于函數f(x)=

x+1

-ax在（3，+∞）上單調遞減，
令t=

x+1

，則x=t²+1，
∵x＞3
∴t＞2，
于是函數化為y=-at²+t-a（t＞2）單調遞減，
當a=0時，y=t，在t＞2時遞增，符合題意；
當a＞0時，則有

1

2a

≤2?a≥

1

4

；
當a＜0時，則有

1

2a

≥2?∅；
綜上a的取值范圍是[

1

4

，+∞)

點評：本題考查的知識點是函數單調性，二次函數的圖象與性質，其中在非基本初等函數時，利用換元法將函數的解析式化為基本初等函數是最常用的方法．