Question

(本小題滿分15分)

如圖，在直角坐標系中，中心在原點，焦點在X軸上的橢圓G的離心率為，左頂點A（-4,0），圓：是橢圓G的內接的內切圓.

(Ⅰ) 求橢圓G的方程；

(Ⅱ) 求圓的半徑r；

（Ⅲ）過作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點，判斷直線EF與圓的位置關系，并證明.

 

Answer 1

解： (Ⅰ) ，得，橢圓G方程為 -----------------------5分

(Ⅱ)設，過圓心作于,交長軸于

由得,即                   (1)---------------------------7分

而點在橢圓上,      (2)-------------9分

由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）-------------------------------------------11分

(2) 直線與圓的相切

設過點與圓相切的直線方程為:             (3)

則,即            (4)

解得

將(3)代入得,則異于零的解為----------------------13分

設,，則

則直線的斜率為：

于是直線的方程為:   即

則圓心到直線的距離            故結論成立.  ---------------------------------------------15分