Question

【題目】已知橢圓:,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是,且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:,其中,是橢圓上的點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為,求點(diǎn)的軌跡方程并判斷是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、,使得為定值？若存在,求出定值;若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）因?yàn)闄E圓:,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是,可得.點(diǎn)在橢圓上,可得,即可求得答案;

（2）設(shè),,,則由得:,即,.點(diǎn),在橢圓上,結(jié)合已知,即可求得答案.

（1）橢圓：,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是

,即①

點(diǎn)在橢圓上

即 ②

由①②解得: ,

化簡(jiǎn)可得:

解得,,,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè),,,則由

得:,

即,.

點(diǎn),在橢圓上,

,,

故

,

設(shè),分別為直線(xiàn),的斜率,

由題設(shè)條件知:,可得,

,

點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為點(diǎn),,

使得為定值.