Question

已知數列{a_n}是首項為a且公比q≠1的等比數列，S_n是其前n的和，a₁，2a₇，3a₄成等差數列．
（1）求q³的值；
（2）證明：12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．

Answer 1

分析：（1）由題意a₁，2a₇，3a₄成等差數列可得4a₇=a₁+3a₄，由于問題中兩個問題都只和公比的三次方有關，故從此等式中解出公比的三次方即可；
（2）證明三數成等比數列，需要先求出前n項和公式，然后將公式代入由等比關系轉化成的方程進行驗證證明即可．

解答：解：（1）∵a₁，2a₇，3a₄成等差數列，
∴4a₇=a₁+3a₄，又數列{a_n}是首項為a且公比q≠1的等比數列，
∴4aq⁶=a+3aq³，
整理得：4（q³）²-3q³-1=0，即（4q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-

1

4

或q³=1（舍去），
則q³=-

1

4

；
（2）∵q³=-

1

4

，
∴

S6

12S3

=

a1(1-q6) 1-q

12a1(1-q3) 1-q

=

1+q3

12

=

1

16

，
而

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12) 1-q

a1(1-q6) 1-q

-1
=1+q6-1=q6=

1

16

=

S6

12S3

，
∴S₆²=12S₃•（S₁₂-S₆），
則12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．

點評：此題考查了等差數列的性質，等比數列的通項公式，以及等比關系的確定，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．