Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，對角線與相交于點，，平面，平面與平面所成的角為45°，是的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據線面垂直可以得出，結合菱形的性質，可以得到，進而得出平面，依據面面垂直判定定理可得結果.

（2）取中點，根據平移找到異面直線與所成角，計算長度，利用余弦定理可得結果.

（3）找到平面的垂線并計算垂線段長度，并計算直線在平面的投影的長度，結合三角函數可得結果.

（1）證明：∵平面，∴，

又∵菱形中，且，

∴平面，∴平面平面；

（2）取中點連接，如圖所示：

∴//，

∴與所成角為或其補角，

∵菱形中，

∴，且，

∵平面，∴，，

，又∵

∴平面，∴，

∴二面角的平面角為

∴中，；

∴中，∴；

中，

∴中，，

即與所成角余弦值為

（3）作延長線于，則平面

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

∴與平面所成角為即

∵中，∴

∴中，，

，

即直線與平面所成角的正弦值為