Question

如圖，將45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜邊與30°直角三角板的30°角所對的直角邊重合．若

DB

=x•

DC

+y•

DA

，則x，y等于（　　）

• A、x=

  3

  ，y=1
• B、x=1+

  3

  ，y=

  3

• C、x=2，y=

  3

• D、x=

  3

  ，y=1+

  3

Answer 1

分析：根據直角三角形中的邊角關系求出各邊長，余弦定理求出DB²=x²+y² ①，Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC^'2+C′B²，即 6=（x-1）²+y² ②，由①②可解得 x、y值．

解答：解：由題意得，若設 AD=DC=1，則 AC=

2

，AB=2

2

，BC=

6

，由題意知，

DB

=x•

DC

+y•

DA

，
△BCD中，由余弦定理得 DB²=DC²+CB²-2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×

6

×

2

2

=7+2

3

，
∵

DB

=x•

DC

+y•

DA

，∠ADC=90°，∴DB²=x²+y²，∴x²+y²=7+2

3

   ①．
如圖，作

DC′

=x

DC

，

DA′

=y

DA

，則

DB

=

DC′

+

DA′

，CC′=x-1，C′B=y，
Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC^'2+C′B²，即 6=（x-1）²+y²，②
由①②可得 x=1+

3

，y=

3

，
故選B

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，數量積公式的應用，余弦定理、勾股定理得應用，體現了數形集合的數學思想．