Question

【題目】已知：如圖，拋物線c1經過A，B，C三點，頂點為D，且與x軸的另一個交點為E．

（1）求拋物線c1解析式；

（2）求四邊形ABDE的面積；

（3）△AOB與△BDE是否相似，如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由；

（4）設拋物線c1的對稱軸與x軸交于點F，另一條拋物線c2經過點E（拋物線c2與拋物線c1不重合），且頂點為M（a，b），對稱軸與x軸相交于點G，且以M，G，E為頂點的三角形與以D，E，F為頂點的三角形全等，求a，b的值．（只需寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S四邊形ABDE＝9（平方單位）；（3）見解析；（4），，，，，，．

【解析】

（1）根據圖象可得出A、B、C三點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）由于四邊形ABDE不是規則的四邊形，因此可過D作DF⊥x軸于F，將四邊形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DFE三部分來求；（3）可先根據坐標系中兩點間的距離公式，分別求出AB、BE、DE、BD的長，然后看兩三角形的線段是否對應成比例即可；（4）要使兩三角形全等，那么兩直角三角形的兩直角邊應對應相等．

當EF＝EG＝2，DF＝MG＝4，此時M點的坐標可能為（5，4），（5，﹣4），（1，﹣4）．

當EF＝MG＝2，DF＝EG＝4，此時M點的坐標可能是（7，2），（7，﹣2），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；綜上所述可得出a、b的值．

（1）設c1的解析式為y＝ax2+bx+c，由圖象可知：c1過A（﹣1，0），B（0，3），C（2，3）三點．

，

解得：，

∴拋物線c1的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∴拋物線 的頂點D的坐標為（1，4）；

過D作DF⊥x軸于F，由圖象可知：OA＝1，OB＝3，OF＝1，DF＝4；

令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∴OE＝3，則FE＝2．

S△ABO＝OAOB＝×1×3＝；

S△DFE＝DFFE＝×4×2＝4；

S梯形BOFD＝（BO+DF）OF＝；

∴S四邊形ABDE＝S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE＝9（平方單位）．

（3）如圖，過B作BK⊥DF于K，則BK＝OF＝1．

DK＝DF﹣OB＝4﹣3＝1．

∴BD＝，

又DE＝；

AB＝，BE＝3；

在△ABO和△BDE中，

AO＝1，BO＝3，AB＝，

BD＝，BE＝3， DE＝2，

∵，

∴△AOB∽△DBE．

（4）令y=0，則

解得

∴點E的坐標為(3, 0)，

由（1）可知物線 的頂點D的坐標為（1，4）

∴F的坐標為(1,0)，

∴DF=4，EF=3-1=2,

∵以M、G. E為頂點的三角形與以D、E. F為頂點的三角形全等,

∵M（a，b），

∴G，（a，0）

∴

EG與DF是對應邊時，EG=DF=4, MG=EF=2,

∴

解得或

∴或或 或．

EG與EF是對應邊時，EG=EF=2, MG=DF=4,

∴

解得或

∴或或或（舍去），

綜上所述：，，，，，，．