Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f（x+1）=f（1-x）．當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）．

Answer 1

分析：（1）由f（x+1）=f（1-x）可得f（x）=f（2-x），然后由f（x）為奇函數可得f（-x）=-f（x），可得函數的周期性
（2））由x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．可求x∈[-2，0]時的函數解析式，根據周期可求x∈[2，4]時函數解析式（3）根據已知可分別求解f（1），f（2），f（3），f（4），進而根據周期可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）

解答：證明：（1）∵對任意實數x，恒有f（x+1）=f（1-x）
∴f（x）=f（2-x）
∵f（x）為奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴f（2-x）=-f（-x）即f（2+x）=-f（x）
∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f（2+x）=f（x）
∴函數f（x）是以4為周期的周期函數
解：（2））∵x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
當x∈[-2，0]時，可得f（x）=2x+x²
設x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=f（x）
∴f（x）=x²-6x+8
（3）∵f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=1

點評：本題主要考查了函數的周期的求解及應用及根據函數性質求解函數的解析式及函數值的求解，解題的關鍵是熟練應用函數的基本性質