(x∈R,且x≠
),求證:(1)經過這個函數圖象上任意兩點的直線不平行于x軸；
(2)這個函數的圖象關于直線y=x對稱.
思路解析:對于(1),可轉化為函數y=的圖象與y=t(t∈R且t是常數)的圖象交點個數不超過一個;對于(2),可證明函數的反函數與原函數是同一個函數.
證明:(1)本題可轉化為函數y=的圖象與y=t(x∈R,t是常數)的圖象交點個數不超過一個.
令
=t,得(at-1)x=t-1.若(at-1)≠0,則只有一個解;
若at-1=0,得t=1.∴a=1=t,與a≠1矛盾.
故經過這個函數圖象上任意兩點的直線,不平行于x軸.
(2)由y=
,得(ay-1)x=(y-1).
若ay-1=0,則y=1,a=1與已知矛盾.
∴ay-1≠0,x=
.
∴f-1 (x)= 
(x∈R,x≠
),
即函數y=
(x∈R,x≠
)的反函數為其本身.
所以這個函數的圖象關于直線y=x對稱.
深化升華
(1)一個函數若有反函數,則它的圖象與y=t的圖象最多有一個交點.
(2)若一個函數圖象關于y=x對稱,則它的反函數是這個函數本身.
(3)與本題有關的數學思想方法有轉化思想和數形結合思想.
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