Question

經市場調查，某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t（天）的函數，且銷售量近似地滿足f（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天價格為g(t)=

1

2

t+30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價格為g（t）=45（31≤t≤50，t∈N）．
（1）寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數關系；
（2）求日銷售額S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據銷售額等于銷售量乘以售價得S與t的函數關系式，此關系式為分段函數；
（2）求出分段函數的最值即可．

解答：解：（1）當1≤t≤30時，由題知f（t）•g（t）=（-2t+200）•（

1

2

t+30）=-t²+40t+6000，
當31≤t≤50時，由題知f（t）•g（t）=45（-2t+200）=-90t+9000，
所以日銷售額S與時間t的函數關系為S=

-t2+40t+6000，1≤t≤30 -90t+9000，31≤t≤50

；

（2）當1≤t≤30，t∈N時，S=-（t-20）²+6400，當t=20時，S_max=6400元；
當31≤t≤50，t∈N時，S=-90t+9000是減函數，當t=31時，S_max=6210元．
∵6210＜6400，
則S的最大值為6400元．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力．理解函數的最值及其幾何意義的能力．