Question

設數列{a_n}滿足a1=2，an+1=

a

2 n

-nan+1，n∈N*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的一個通項公式，證明你的結論；
（Ⅱ）若b_n=a_n-1，不等式

1

n+b1

+

1

n+b2

+…+

1

n+bn

＞

m

24

對一切n∈N^*都成立，求正整數m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意計算，得a₁=2，得a₂=3，a₃=4，a₄=5，…，由此猜想a_n=n+1．再用數學歸納法證明即可；
（Ⅱ）由b_n=a_n-1=n，可求得

1

n+b1

+

1

n+b2

+…+

1

n+bn

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，設f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，可求得f（n+1）=f（n）+

1

(2n+1)(2n+2)

＞f（n），從而可得f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）=

1

2

=

12

24

，繼而可求得正整數m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=2，得a₂=a12-a₁+1=3，
由a₂=3，得a₃=a22-2a₂+1=4，
由a₄=a32-3a₃+1=5，
由此猜想a_n=n+1．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，a₁=1+1，猜想成立；
（2）假設當n=k時，猜想成立，即a_k=k+1，
那么當n=k+1時，
a_k+1=ak2-ka_k+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1，
由（1）（2）知，對于任意的n∈N^*都有a_n=n+1成立．
（Ⅱ）∵b_n=a_n-1=n，
∴

1

n+b1

+

1

n+b2

+…+

1

n+bn

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
設f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
則f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

n+n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

，
=f（n）+

1

(2n+1)(2n+2)

＞f（n），
∴f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）=

1

2

=

12

24

，
∴m=11．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查數列遞推式，考查猜想與證明，著重考查數學歸納法與放縮法的綜合應用，屬于難題．