Question

設函數f(x)=

x-a

x-1

，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M⊆P，則實數a的取值范圍是

a≥1

．

Answer 1

分析：可對兩個集合進行化簡，解出兩個不等式用參數表示的集合，再由M⊆P這個關系比較兩個集合中的元素所滿足的屬性，分類討論得出參數所滿足的不等式，解出參數的取值范圍

解答：解：由于f（x）＜0等價于（x-1）（x-a）＜0
又f′(x)=

a-1

(x-1)2

，故f′(x)＞0等價于

a-1

(x-1)2

＞0f^′（x）＞0等價于

a-1

(x-1)2

＞0
當a＜1時，集合P無解，不滿足題意，
當a=1時，兩集合都是空集，符合題意
當a＞1時，集合M={x|1＜x＜a}，P={x|x≠1}，符合題意
綜上得a≥1
故答案為a≥1

點評：本題考查導數的除法法則，集合中的參數的范圍求法，解題的關鍵是正確求出函數的導數，對兩個集合進行化簡，再分類討論求解參數范圍，本題是一個綜合性較強的題，尤其是對集合包含關系的理解，易漏掉空集的情況，導致解題答案不完整