Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，已知|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）設O為原點，橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長S的最大值．

Answer 1

分析：（I）由|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，知當且僅當|PF₂|取最小值時，|PT|取最小值．由|PF₂|_min=a-c，能得到離心率e的取值范圍．
（II）由Q（1，0），直線l的方程為y=k（x-1），聯立方程組

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2-1

，x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

，再由OA⊥OB知k=a，直線方程為ax-y-a=0，再由圓心到F₂（c，0）到直線l的距離d=

|ac-a|

a2+1

，能求出S的最大值．

解答：解：（I）由題意|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
當且僅當|PF₂|取最小值時，|PT|取最小值，
∵|PF₂|_min=a-c，
∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，
即0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，解得

3

5

≤e＜

2

2

．
∴離心率e的取值范圍是[

3

5

，

2

2

）．
（II）∵Q（1，0），直線l的方程為y=k（x-1），
聯立方程組

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，
∴y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，
∴x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即k²=a²，
∴k=a，直線方程為ax-y-a=0，
∴圓心到F₂（c，0）到直線l的距離d=

|ac-a|

a2+1

，
由

d

S 2

=a，知S=

2d

a

=

2|c-1|

a2+1

=2

c2-2c+1 c2+2

=2

1- 4 2c+1+ 9 2c+1 -2

，
∵

3

5

≤c＜

2

2

，∴

3

4

≤c＜1，
∴

5

2

≤2c+1＜3，
∴S∈(0，

2 41

41

]，
故S的最大值為

2 41

41

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．