Question

【題目】如圖，已知是直角梯形，且，平面平面，， ， ，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由四邊形是平行四邊形，得，從而平面；

（2）通過建立空間直角坐標系，套用求二面角的公式，即可得到本題答案.

（1）證明：取的中點，連結，

因為是的中點，所以，，

因為，且，

所以，且，所以四邊形是平行四邊形，

所以，

因為平面，平面，所以平面；

（2）因為，平面平面，

所以以點為原點，直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則軸在平面內.

由已知可得，，，.

所以，，

設平面的法向量為，

由

所以，取，所以，

又因為平面的一個法向量為，

所以，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.