Question

如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，，動點D在線段AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當點D運動到線段AB的中點時，求二面角D-CO-B的大小；
（Ⅲ）當CD與平面AOB所成角最大時，求三棱錐C-OBD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證平面COD⊥平面AOB，根據面面垂直的判定定理可知在平面COD內一直線與平面AOB垂直，根據勾股定理可知OC⊥OB，根據線面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC?平面COD，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）根據OC⊥OB，OC⊥OD，可知∠DOB是二面角D-CO-B的平面角，在三角形DOB中求出此角即可；
（Ⅲ）根據線面所成角的定義可知∠CDO是CD與平面AOB所成角，然后表示出此角的正切值，再根據正切函數的單調性知，當OD最小時，∠CDO最大，最后根據三棱錐的體積公式求出所求即可．
解答：解：
（Ⅰ）證明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．（2分）
∵，∴OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．（4分）
∵OC?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（5分）
（Ⅱ）：由（Ⅰ）知OC⊥平面AOB，
∴OC⊥OB，OC⊥OD，
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角．（7分）
∵D為AB的中點，∴OD=2，BD=2，
又OB=2，∴∠DOB=60°，
∴二面角D-CO-B的大小為60°．（9分）
（Ⅲ）：∵OC⊥平面AOB，CD交平面AOB于D，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成角．（10分）
tan∠CDO=，據正切函數的單調性知，當OD最小時，∠CDO最大，
∴取OD⊥AB，OD=為最小值，此時，BD=1．（12分）
∴V_C-OBD=．
即CD與平面AOB所成角最大時，三棱錐C-OBD的體積為．（14分）
點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量和棱錐體積的求解，同時考查了空間想象能力，計算能力和推理能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．