Question

已知函數f(x)=2msin2x-2

3

msinxcosx+n的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，4]．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）在△ABC中，∠A=

π

3

，求函數y=-nsinB+cos(

C-3B

2

-

π

3

)+m的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換求出函數f（x）的解析式為-2msin(2x+

π

6

)+m+n，分m＞0和m＜0兩種情況，根據函數的定義域求出值域，結合值域求出m、n的值．
（2）根據 C=

2

3

π-B，得

C-3B

2

-

π

3

=-2B，分m=3，n=-2和m=-3，n=1兩種情況，根據B的范圍求出sinB的范圍，從而求出函數的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx+n=-mcos2x-

3

msin2x+m+n
=-2msin(2x+

π

6

)+m+n，
由x∈[0，

π

2

] 可得，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
若m＞0，f（x）∈[-m+n，2m+n]，則

-m+n=-5 2m+n=4

，∴m=3，n=-2．
若m＜0，f（x）∈[2m+n，-m+n]，則

-m+n=4 2m+n=-5

，m=-3，n=1．
（2）∵C=

2

3

π-B，∴

C-3B

2

-

π

3

=-2B．
當m=3，n=-2時，y=2sinB+cos(

C-3B

2

-

π

3

)+3=2sinB+cos2B+3=-2sin²B+2sinB+4=-2(sinB-

1

2

)2+

9

2

．
∵B∈(0，

2

3

π)，∴sinB∈（0，1]，y∈[4，

9

2

]．
當m=-3，n=1時，y=-sinB+cos(

C-3B

2

-

π

3

)-3=-sinB+cos2B-3=-2sin²B-sinB-2=-2(sinB+

1

4

)2-

15

8

．
∵B∈(0，

2

3

π)，
∴sinB∈（0，1]，y∈[-5，-2）．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，用待定系數法求函數的解析式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．