Question

函數y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，

π

4

]的最大值是

1

2

+

2

．

Answer 1

分析：利用sinx與cosx的平方關系，令sinx+cosx=t，通過換元，將三角函數轉化為二次函數，求出對稱軸及自變量t的范圍，利用二次函數的單調性求出最值．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈[0，

π

4

]，∴x+

π

4

∈[0，

π

2

]，
則0≤t≤

2

，
∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1（0≤t≤

2

），
對稱軸t=-1，當0≤t≤

2

時，二次函數為增函數，
∴當t=

2

時，y有最大值

1

2

+

2

．
故答案為：

1

2

+

2

點評：本題考查了同角三角函數間基本關系，正弦函數的定義域及值域，以及二次函數的性質，其中熟練掌握三角函數中平方關系sinx+cosx與2sinxcosx兩者的相互轉化、以及二次函數的最值的求法是解本題的關鍵．