Question

9．已知二次函數t滿足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，2]時，求y=f（x）的值域；
（3）設h（x）=f（x）-mx在[1，3]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可設f（x）=a（x-1）²+1，代值計算即可，
（2）根據二次函數的圖象和性質求解即可；
（3）根據題意可知對稱軸不在區間內即可．

解答 解：（1）由題意可設f（x）=a（x-1）²+1，因為f（0）=2，所以a•（0-1）²+1=2，
解得：a=1，即f（x）=（x-1）²+1．
（2）因為x∈[-1，2]，f（x）在[-1，1]為減函數，f（x）在[1，2]為增函數．
當x=1時，y_min=1．
當x=-1時，y_max=5．所以y=f（x）的值域是[1，5]，
（3）因為h（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2在[1，3]上是單調函數，
所以 $\frac{m+2}{2}≤1$或$\frac{m+2}{2}≥3$，即m≤0或m≥4．
綜上：當m≤0或m≥4，h（x）=f（x）-mx在[1，3]上是單調函數．

點評 本題主要考查二次函數的性質，用待定系數法求函數的解析式，屬于基礎題．