Question

如圖，圓柱OO內有一個三棱柱ＡＢＣ—Ａ，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O直徑。

(1)證明：平面平面;

(2)設ＡＢ=ＡＡ,在圓柱ＯＯ內隨機選取一點，記該點取自三棱柱ＡＢＣ—ＡＢ內的概率為Ｐ.

①當點C在圓周上運動時，求的最大值；

②記平面與平面所成的角為，當取最大值時，求的值。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）因為平面ABC，平面ABC，所以，

因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

（2）（i）設圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為

=，又因為，

所以=，當且僅當時等號成立，

從而，而圓柱的體積，

故=當且僅當，即時等號成立，

所以的最大值是。

（ii）由（i）可知，取最大值時，，于是以O為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因為平面，所以是平面的一個法向量，

設平面的法向量，由，故，

取得平面的一個法向量為，因為，

所以。

【解析】略