Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，側面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中點．
（1）求證：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根據ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°得到△A₁B₁B是正三角形，則BM⊥A₁B，然后根據平面ABB₁A₁與平面A₁B₁C₁垂直的性質性質定理可知BM⊥平面A₁B₁C₁，而AC∥A₁C₁，從而得到結論；
（2）根據題意可知BE⊥B₁C₁，根據二面角平面角的定義可知∠BEM為所求二面角的平面角，在△A₁B₁C₁中，求出ME，在Rt△BMB₁中，求出MB，最后在三角形BEM中求二面角的正切值．

解答：解：（1）證明：∵ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°?△A₁B₁B是正三角形
又∵

M是 A1B1的中點

，∴ BM⊥A1B?BM⊥平面A₁B₁C₁

∴BM⊥A1C1 又∵AC∥A1C1

?BM⊥AC
（2）

過M作ME⊥B1C1且交于點E ∵BM⊥平面A1B1C1

?BE⊥B₁C₁∴∠BEM為所求二面角的平面角
△A₁B₁C₁中，ME=MB₁•sin60°=

3

4

a，Rt△BMB₁中，MB=MB₁•tan60°=

3

2

a
∴tan∠BEM=

MB

ME

=2，∴所求二面角的正切值是2

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量，求二面角，關鍵是構造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉化為二面角的平面角．