Question

設函數f（x）=
（Ⅰ）若f（x）在x=1，x=處取得極值，
（i）求a、b的值；
（ii）在存在x，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，求c最小值
（Ⅱ）當b=a時，若f（x）在（0，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍．
（參考數據e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

【答案】分析：（I）（i）先對函數進行求導，根據函數在取得極值，則，代入可求a，b的值．
（ii）轉化為c≥f（x）_min，從而求函數f（x）在區間上的最小值，從而求c的值
（II）當a=b時，f（x）=
①a=0符合條件
②a≠0時，分a＞0，a＜0討論f′（x）在（0，+∞）上的正負，以確定函數的單調性的條件，進而求出a的取值范圍
解答：解：（I）（1）∵，∴．（1分）
∵f（x）在x=1，x=處取得極值，∴（2分）
即解得
∴所求a、b的值分別為-（4分）

（ii）在存在x_o，使得不等式f（xo）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]min，
由==，
∴時，f'（x）＜0，故f（x）在是單調遞減；
當時，f'（x）＞0，故f（x）在是單調遞增；
當x∈[1，2]時，f'（x）＜0，故f（x）在[1，2]是單調遞減；
∴是f（x）在上的極小值．（6分）
，
且，
又e³-16＞0，∴，
∴[f（x）]min=f（2），∴，∴c的取值范圍為，
所以c的最小值為-．（9分）

（Ⅱ）當a=b時，f'（x）=，
①當a=0時，f（x）=1nx．則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a＜0時，設g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，從面得，此時f（x）在（0+∞）上單調遞減；
綜上得，a的取值范圍是．（14分）
點評：本題（I）（i）考查了函數取得極值的性質：若函數在x處取得極值⇒則f（x）=0，但f′（x）=0，x不一定是函數的極值點，即某點的導數為0是該點為極值的必要不充分條件．
（ii）注意是“存在”，使得c≥f（x）成立?c≥f（x）_min；
若是“任意”使得c≥f（x）恒成立?c≥f（x）_max，要區別兩種不同的情況．
（II）結合極值考查函數的單調性，需要注意分類討論的思想在解題中的應用．