Question

13．近年來鄭州空氣污染教委嚴重，縣隨機抽取一年（365天）內100天的空氣中PM2.5指數的監測數據，統計結果如表：

PM2.5	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空氣質量	優	良	輕微污染	輕度污染	重度污染	中重度污染	重度污染
天數	4	15	18	30	7	11	15

記某企業每天由空氣污染造成的經濟損失為S（單位：元），PM2.5指數為x，當x在區間[0，100]內時，對該企業沒有造成經濟損失；當x在區間（100，300]內時，對該企業造成的經濟損失成直線模型（當PM2.5指數為150時造成的經濟損失為500元，當PM2.5指數為200時，造成的經濟損失為700元）；當PM2.5指數大于300時，造成的經濟損失為2000元
（1）試寫出S（x）的表達式
（2）試估計在本年內隨機抽取一天，該天的經濟損失大于500元且不超過900元的概率
（3）若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯表，并判斷是否有95%的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關    附：

P（k2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	1.32	2.07	2.70	3.841	5.02	6.63	7.87	10.828

k²=$\frac{n（ac-bd）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

	非重度污染	重度污染	合計
供暖季
非供暖季
合計			100

Answer 1

分析 （1）利用分段函數寫出S（x）的解析式即可；
（2）利用經濟損失函數求出滿足500＜S（x）≤900的x對應的天數，計算故所求的概率值；
（3）填寫列聯表，計算觀測值K²，對照臨界值表得出結論．

解答 解：（1）當x∈[0，100]時，S（x）=0；
當x∈（100，300]時，設S（x）=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{150k+b=500}\\{200k+b=700}\end{array}\right.$，解得k=4，b=-100，
所以S（x）=4x-100；
當x＞300時，S（x）=2000；
綜上，S（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，100]}\\{4x-100，x∈（100，300]}\\{2000，x∈（300，+∞）}\end{array}\right.$；
（2）根據題意，當x∈（100，300]時，
S（x）=4x-100；
令500＜4x-100≤900，
解得150＜x≤250；
在抽取的樣本中，PM2.5的指數x∈（150，250]時有30+7=37（天），
故所求的概率為P=$\frac{37}{100}$=0.37；
（3）填寫列聯表如下：

	非重度污染	重度污染	合計
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計	85	15	100

根據表中數據，計算K²=$\frac{100{×（22×7-63×8）}^{2}}{30×70×85×15}$≈4.575＞3.481，
對照臨界值表知，有95%的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關．

點評 本題考查了分段函數的應用問題，也考查了獨立性檢驗的應用問題，是綜合題．