Question

已知函數f（x）=

x

1+x2

（x＞0），數列{a_n}滿足a₁=f（x），a_n+1=f（a_n）．
（1）求a₂，a₃，a₄．
（2）猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法予以證明．

Answer 1

分析：（1）根據a₁=f（x），a_n+1=f（a_n），分別令n=1，2，3即可求得a₂，a₃，a₄．
（2）根據（1）可猜數列{a_n}的通項公式an=

x

1+nx2

，分兩步用數學歸納法證明：①先證n=1時的情形；②假設當n=k時，結論成立，然后證明n=k+1時成立即可得到結論；

解答：解：（1）由a₁=f（x），a_n+1=f（a_n）得：
a2=f(a1)=

a1

1+a12

=

x

1+2x2

，a3=f(a2)=

a2

1+a22

=

x

1+3x2

，a4=f(a3)=

a3

1+a32

=

x

1+4x2

；
（2）猜想數列{a_n}的通項公式an=

x

1+nx2

．
證明：（1）當n=1時，結論顯然成立；
（2）假設當n=k時，結論成立，即ak=

x

1+kx2

．
則當n=k+1時，an+1=f(an)=

x 1+kx2

1+( x 1+kx2 )2

=

x

1+(k+1)x2

．
顯然，當n=k+1時，結論成立．
由（1）、（2）可得，數列{a_n}的通項公式an=

x

1+nx2

．

點評：本題考查數列遞推式、數列的函數特性及數學歸納法，屬中檔題．