Question

設函數f（x）是實數集上的奇函數，且滿足f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=log

1

2

(1-x)，則f（x）在（1，2）上是（　　）

A．增函數且f（x）＜0

B．增函數且f（x）＞0

C．減函數且f（x）＜0

D．減函數且f（x）＞0

Answer 1

分析：令t=x-1，當x∈（1，2）時，t∈（0，1），f（x）=f（t+1）=-f（t）=-log

1

2

(2-x)，故f（x）是減函數
且f（x）＜0．

解答：解：令t=x-1，則x=t+1，當x∈（1，2）時，t∈（0，1），
故f（x）=f（t+1）=-f（t）=-log

1

2

(1-t)=-log

1

2

(2-x)．
當 x∈（1，2）時，log

1

2

(2-x)是增函數，f（x）=-log

1

2

(2-x)是減函數．
由x∈（1，2）知，0＜2-x＜1，log

1

2

(2-x)＞0，f（x）=-log

1

2

(2-x)＜0．
故選C．

點評：本題主要考查對數函數的定義域、值域及單調性，求函數的解析式，換元時注意變量范圍的變化，這是解題的易錯點．