Question

已知平面內(nèi)向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等且兩兩夾角不為0，且|

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3，
（1）求向量

a

+

b

+

c

的長(zhǎng)度；
（2）求向量

a

+

b

+

c

與

a

的夾角．

Answer 1

分析：（1）平面內(nèi)向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，得到三個(gè)向量所成的角都是120°，根據(jù)模長(zhǎng)公式表示出要求的向量的模長(zhǎng)，根據(jù)所給的條件得到模長(zhǎng)的值．
（2）把所給的向量代入求模長(zhǎng)的公式，根據(jù)已知向量的模長(zhǎng)和向量之間的夾角求出向量的夾角的余弦值，得到兩個(gè)向量的夾角．

解答：解：（1）∵平面內(nèi)向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，
∴三個(gè)向量所成的角都是120°，
∴|

a

+

b

+

c

|²=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2•

b

•

c

+2

a

•

c

=1+4+9-2-6-3=3
∴|

a

+

b

+

c

|=

3

（2）設(shè)兩個(gè)向量的夾角為θ，
∴cosθ=

a •( a + b + c )

| a || a + b + c |

=

1-1- 3 2

3

=-

3

2

∴兩個(gè)向量的夾角是

5

6

π，
即兩個(gè)向量之間的夾角是

5

6

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的數(shù)量積表示向量的夾角和向量的模長(zhǎng)公式的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確利用向量的模長(zhǎng)公式和求夾角的公式．本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．