Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，．
（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求函數V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，．
在Rt△ABC中，∵（0＜x＜2）．
∴，
=（0＜x＜2）．
∵，當且僅當x²=4-x²，即時，體積有最大值為．
分析：（1）利用直徑所對的圓周角為直角，線面垂直的性質即可證明BC⊥平面ACD，再利用平行四邊形的性質BC∥ED，得到ED⊥平面ACD，從而可得平面ACD⊥平面ADE；
（2）利用三棱錐的體積計算公式即可得出表達式，再利用基本不等式的性質即可得出體積的最大值．
點評：熟練掌握直徑所對的圓周角為直角的性質、線面、面面垂直的判定和性質定理、三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．