Question

已知曲線C：y=4^x，Cn：y=4x+n(n∈N*)，從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于P_n，再從點P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，bn=

yn+1

yn

．
（1）求數列{x_n}的通項公式；
（2）記cn=

4

anbn

，數列{c_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與

37

32

的大小（n∈N^*）；
（3）記dn=

3×5n

2n+2×(bn-1)

，數列{d_n}的前n項和為T_n，試證明：（2n-1）•d_n≤T_2n-1．

Answer 1

分析：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n-1），從而得到yn+1=4xn+n=4xn+1，x_n+1=x_n+n，由此能求出數列{x_n}的通項公式．
（2）由a_n=n，bn=4n，cn=

1

n•4n-1

，知S1=1＜

37

32

，S2=1+

1

8

=

9

8

＜

37

32

，S3=1+

1

8

+

1

48

=

55

48

＜

37

32

，當n＞3時，Sn=

1

1

+

1

2×4

+

1

3×42

+…+

1

n×4n-1

＜1+

1

2×4

+

1

3×42

+

1

3×43

+…+

1

3×4n-1

＜

37

32

．
（3）當n≥2，k=1，2，…，2n-1時，有d_k+d_2n-k=

3

4

×[

5k

2k×(4k -1)

+

52n-k

22n-k×(42n-k-1)

]≥

6×5n

2n+2

1 42k-4k-42n-k+1

0，由此能夠推導出對任意的n∈N^*，都有（2n-1）•d_n≤T_2n-1．

解答：解：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n-1），
∴yn+1=4xn+n=4xn+1，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n-1+n-1
=x_n-2+（n-2）+（n-1）
=…=x₁+1+2+…+（n-1）
=

n(n-1)

2

+1．
（2）由（1）知，a_n=n，bn=4n，
∵cn=

1

n•4n-1

，
∴S1=1＜

37

32

，S2=1+

1

8

=

9

8

＜

37

32

，
S3=1+

1

8

+

1

48

=

55

48

＜

37

32

，
∴當n＞3時，Sn=

1

1

+

1

2×4

+

1

3×42

+…+

1

n×4n-1

＜1+

1

2×4

+

1

3×42

+

1

3×43

+…+

1

3×4n-1

=1+

1

8

+

1

3

×

1 42 ×(1- 1 4n-2 )

1- 1 4

=

9

8

+

1

36

-

1

9×4n-1

＜

37

32

．
（3）當n≥2，k=1，2，…，2n-1時，有：
d_k+d_2n-k=

3

4

×[

5k

2k×(4k -1)

+

52n-k

22n-k×(42n-k-1)

]
≥

3

4

×2

5k 2k×(4k-1) × 52n-k 22n-k×(42n-k-1)

=

3×2×5n

4×2n

1 (4k-1)(42n-k-1)

=

6×5n

2n+2

1 42k-4k-42n-k+1

，
又∵4^k+4^2n-k≥2×4ⁿ，
∴4²ⁿ-4^k-4^2n-k+1≤4²ⁿ-2×4ⁿ+1=（4ⁿ-1）²，
∴dk+d2n-k≥

6×5n

2n+2

×

1

4n-1

=2dn，
T2n-1≥

1

2

×(2n-1)×2dn=（2n-1）d_n，
∴對任意的n∈N^*，都有（2n-1）•d_n≤T_2n-1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查兩個數大小的比較，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．